Comment calculer une intégrale impropre

July 15

Comment calculer une intégrale impropre


Intégrales impropres ont infini positif ou négatif dans l'un ou l'autre des limites des intégrales. Il est difficile d'imaginer le calcul de la zone d'un graphe à l'infini positif ou négatif, mais il est possible avec l'utilisation de limites infinies. Substituer temporairement une variable t pour l'intégrale impropre, puis de calculer l'intégrale en prenant la limite quand t tend vers l'infini dans la primitive de la fonction. Pour certains types de fonctions, cela se traduira par un nombre réel de solution.

Instructions

1

Remplacer l'intégrale impropre (∞ ou -∞) avec une variable d'espace réservé dans l'intégrale impropre. Par exemple, dans l'intégrale de 1 à ∞ de 1 / x ^ 2 dx, remplacer l'intégrale avec ∞ pour obtenir l'entier de 1 à t 1 / x ^ 2 dx.

2

Résoudre l'intégrale définie de 1 à t en calculant la primitive de la fonction et l'évaluer à des valeurs f (t) et f (1). Dans l'exemple ci-dessus, la primitive de 1 / (x ^ 2) est de -1 / x. L'intégrale est donc égale à -1 / t - (-1/1).

3

Simplifier l'expression à l'étape 2 en distribuant facteurs, combinant des termes semblables, et la réduction des fractions. L'expression -1 / t - (-1/1) se simplifie en -1 / t + 1, ou 1-1 / t.

4

Prenez la limite de l'expression simplifiée de l'étape 3 comme variable t tend vers l'infini positif ou négatif (selon le signe de l'infini l'intégrale vous remplacé par t à l'étape 1 a) et simplifier la réponse. Dans l'exemple ci-dessus, la limite quand t tend vers l'infini de 1 - 1 / t) est de 1 à 0 ou 1. L'intégrale impropre de 1 à ∞ de la fonction 1 / x ^ 2 est donc égal à 1.

Conseils et avertissements

  • Certains intégrales impropres ne ont pas une véritable solution de nombre. Si la limite quand t tend vers l'infini renvoie un résultat définie à l'étape 4 (par exemple, si t est la place dans le numérateur du dénominateur), puis l'intégrale impropre a une valeur indéfinie.